Ob Prüfungsaufgabe, Schaltungsentwurf oder einfach das Verständnis, warum ein Computer überhaupt „rechnet“ – an der Booleschen Logik kommst du als FISI nicht vorbei. In diesem Beitrag gehen wir die Grundfunktionen UND, ODER, NICHT durch, schauen uns die zusammengesetzten Gatter NAND, NOR, XOR an und leiten am Ende aus einer Wahrheitstabelle die beiden Normalformen DNF und KNF ab – inklusive Schaltzeichen (IEC und US-Norm) und Zeitablaufdiagramm.

Inhaltsverzeichnis

Binäre Logik – worum geht es?

Digitaltechnik kennt nur zwei Zustände: 0 und 1 (auch LOW/HIGH, falsch/wahr, aus/ein). Eine logische Funktion bildet einen oder mehrere Eingänge auf genau einen Ausgang ab. Beschreiben kannst du sie auf drei gleichwertige Arten:

Wahrheitstabelle – listet für jede Eingangskombination den Ausgang auf.
Boolescher Ausdruck – die Funktion als Formel, z. B. Y = A ∧ B.
Schaltzeichen / Logikplan – die grafische Darstellung als Gatter.

Bei n Eingängen gibt es immer 2ⁿ mögliche Eingangskombinationen – bei 2 Eingängen also 4 Zeilen, bei 3 Eingängen 8 Zeilen. Das ist später für DNF/KNF wichtig.

Notation: Es gibt mehrere übliche Schreibweisen. Ich nutze hier ∧ (UND), ∨ (ODER), ¬ (NICHT) und ⊕ (XOR). Gleichwertig sind: UND = · oder Zusammenschreiben (A·B bzw. AB), ODER = +, NICHT = Überstrich (Ā).

Die drei Grundfunktionen: NICHT, UND, ODER

Aus diesen drei lässt sich jede beliebige logische Funktion zusammensetzen – sie sind das Fundament.

NICHT (NOT / Negation / Inverter)

Dreht den Eingang um. Ein Eingang, ein Ausgang.

Y = ¬A

A	Y
0	1
1	0

UND (AND / Konjunktion)

Der Ausgang ist nur dann 1, wenn alle Eingänge 1 sind. Merksatz: „UND ist geizig“.

Y = A ∧ B

A	B	Y
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

ODER (OR / Disjunktion)

Der Ausgang ist 1, sobald mindestens ein Eingang 1 ist. Merksatz: „ODER ist großzügig“.

Y = A ∨ B

A	B	Y
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Schaltzeichen im Überblick (IEC vs. US-Norm)

In der Praxis triffst du auf zwei Symbol-Welten:

IEC 60617 / DIN – rechteckige Symbole mit einem Kennzeichen im Block (& für UND, ≥1 für ODER, 1 für NICHT, =1 für XOR). In deutschen Prüfungen und Normplänen üblich.
ANSI / US-Norm – die „distinktiven“ geschwungenen Formen, die du aus vielen Datenblättern und internationaler Literatur kennst.

Eine Negation wird in beiden Welten durch einen kleinen Kreis (Bubble) am Ausgang dargestellt – so werden aus UND/ODER die Funktionen NAND/NOR.

Die zusammengesetzten Gatter: NAND, NOR, XOR, XNOR

NAND (NOT-AND)

Negiertes UND – Ausgang ist 0 nur dann, wenn alle Eingänge 1 sind.

Y = ¬(A ∧ B)

A	B	Y
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

NOR (NOT-OR)

Negiertes ODER – Ausgang ist 1 nur dann, wenn alle Eingänge 0 sind.

Y = ¬(A ∨ B)

A	B	Y
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

XOR (Exklusiv-ODER / Antivalenz)

Ausgang ist 1, wenn die Eingänge unterschiedlich sind. Bei mehr als zwei Eingängen gilt: 1, wenn die Anzahl der Einsen ungerade ist (Paritätsfunktion).

Y = A ⊕ B

A	B	Y
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

XNOR (Äquivalenz)

Negiertes XOR – Ausgang ist 1, wenn die Eingänge gleich sind. Praktisch als „Vergleicher“.

Y = ¬(A ⊕ B)

A	B	Y
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Zeitablaufdiagramm (Impulsdiagramm)

Das Zeitablaufdiagramm (auch Impuls- oder Signal-Zeit-Diagramm) zeigt, wie sich die Ausgänge über die Zeit verhalten, während sich die Eingänge ändern. Hier durchlaufen die Eingänge A und B nacheinander alle vier Kombinationen 00 → 01 → 10 → 11. So siehst du auf einen Blick, wie jedes Gatter reagiert (in idealer Betrachtung ohne Gatterlaufzeit/Schaltverzögerung).

Lies es spaltenweise: In jeder Zeitspalte gilt eine feste Kombination von A und B, und du kannst Zeile für Zeile mit den Wahrheitstabellen oben gegenprüfen.

Wichtige Rechenregeln & die Sätze von De Morgan

Für Vereinfachungen brauchst du die Grundgesetze der Booleschen Algebra:

Gesetz	UND-Form	ODER-Form
Neutralität	`A ∧ 1 = A`	`A ∨ 0 = A`
Extremalgesetz	`A ∧ 0 = 0`	`A ∨ 1 = 1`
Idempotenz	`A ∧ A = A`	`A ∨ A = A`
Komplement	`A ∧ ¬A = 0`	`A ∨ ¬A = 1`
Kommutativität	`A ∧ B = B ∧ A`	`A ∨ B = B ∨ A`
Distributivität	`A ∧ (B ∨ C) = (A∧B) ∨ (A∧C)`	`A ∨ (B ∧ C) = (A∨B) ∧ (A∨C)`

Besonders prüfungsrelevant sind die Sätze von De Morgan – sie verbinden UND/ODER über die Negation und sind die Grundlage dafür, dass NAND und NOR universell sind:

¬(A ∧ B) = ¬A ∨ ¬B
¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B

Merksatz: „Negation rein – aus UND wird ODER (und umgekehrt).“

Normalformen: DNF und KNF

Eine Normalform ist eine standardisierte Schreibweise, in der sich jede logische Funktion direkt aus ihrer Wahrheitstabelle ablesen lässt – ohne Raten.

DNF – Disjunktive Normalform: eine ODER-Verknüpfung von UND-Termen (sog. Mintermen). Du baust sie aus allen Zeilen, in denen der Ausgang 1 ist.
KNF – Konjunktive Normalform: eine UND-Verknüpfung von ODER-Termen (sog. Maxtermen). Du baust sie aus allen Zeilen, in denen der Ausgang 0 ist.

So liest du die Terme ab

Minterm (für DNF, Zeile mit Ausgang 1): Alle Eingangsvariablen werden mit UND verknüpft. Eine Variable steht negiert, wenn sie in dieser Zeile 0 ist, und nicht negiert, wenn sie 1 ist.

Maxterm (für KNF, Zeile mit Ausgang 0): Alle Eingangsvariablen werden mit ODER verknüpft. Hier ist es genau umgekehrt: Eine Variable steht negiert, wenn sie in dieser Zeile 1 ist, und nicht negiert, wenn sie 0 ist.

Beispiel: Mehrheitsfunktion (2-aus-3)

Nehmen wir eine typische Funktion mit drei Eingängen: Der Ausgang f ist 1, wenn mindestens zwei der drei Eingänge 1 sind (z. B. eine „2-aus-3″-Mehrheitsentscheidung).

DNF – ODER über alle Minterme (die vier 1-Zeilen):

f = (¬A ∧ B ∧ C) ∨ (A ∧ ¬B ∧ C) ∨ (A ∧ B ∧ ¬C) ∨ (A ∧ B ∧ C)

KNF – UND über alle Maxterme (die vier 0-Zeilen):

f = (A ∨ B ∨ C) ∧ (A ∨ B ∨ ¬C) ∧ (A ∨ ¬B ∨ C) ∧ (¬A ∨ B ∨ C)

Beide Formeln beschreiben dieselbe Funktion – einmal über die 1-Stellen, einmal über die 0-Stellen. Welche Form kürzer ist, hängt davon ab, ob die Funktion mehr Einsen oder mehr Nullen hat: Hat die Funktion wenige Einsen, ist die DNF kürzer; hat sie wenige Nullen, ist die KNF kürzer.

Wichtig: Normalform ≠ minimale Form

DNF und KNF sind vollständig, aber meist nicht minimal. Die Mehrheitsfunktion lässt sich z. B. zu

f = (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) ∨ (B ∧ C)

vereinfachen. Solche Minimierungen macht man per Boolescher Algebra (De Morgan, Distributivgesetz) oder grafisch mit dem KV-Diagramm (Karnaugh-Veitch) – das ist aber ein eigenes Thema.

NAND & NOR – die universellen Gatter

Eine Eigenschaft, die in Prüfungen gern abgefragt wird: NAND und NOR sind jeweils funktional vollständig. Das heißt, du kannst mit ausschließlich NAND-Gattern (oder ausschließlich NOR-Gattern) jede beliebige Logik nachbauen. Beispiele mit NAND:

Funktion	Aufbau nur aus NAND
NICHT	`¬A = A NAND A`
UND	`A ∧ B = ¬(A NAND B)` → ein NAND, dahinter ein NAND als Inverter
ODER	`A ∨ B = (¬A) NAND (¬B)` (folgt direkt aus De Morgan)

Das ist auch ökonomisch relevant: In der Fertigung ist es günstiger, einen Chip mit nur einem Gattertyp zu bestücken, als mehrere Typen zu mischen.

Bonus: Wahrheitstabelle per PowerShell

Da du vermutlich eh schon eine PowerShell offen hast – damit kannst du dir die Wahrheitstabelle der Grundfunktionen schnell selbst ausgeben lassen. Praktisch zum Gegenprüfen:

<#
.SYNOPSIS
    Gibt die Wahrheitstabelle der logischen Grundfunktionen fuer zwei Eingaenge aus.
.DESCRIPTION
    Durchlaeuft alle vier Kombinationen von A und B und berechnet
    UND, ODER, XOR, NAND, NOR und XNOR ueber die bitweisen Operatoren.
.NOTES
    Name: PS_Wahrheitstabelle_Grundfunktionen
    Author: Andreas Bowitz
    Version: 0.1
    LastUpdated: 2026-Jun-03
#>

$ergebnis = foreach ($A in 0..1) {
    foreach ($B in 0..1) {
        [PSCustomObject]@{
            A    = $A
            B    = $B
            UND  = $A -band $B            # AND
            ODER = $A -bor  $B            # OR
            XOR  = $A -bxor $B            # XOR
            NAND = [int](-not ($A -band $B))
            NOR  = [int](-not ($A -bor  $B))
            XNOR = [int](-not ($A -bxor $B))
        }
    }
}

$ergebnis | Format-Table -AutoSize

Ausgabe:

A B UND ODER XOR NAND NOR XNOR
- - --- ---- --- ---- --- ----
0 0   0    0   0    1   1    1
0 1   0    1   1    1   0    0
1 0   0    1   1    1   0    0
1 1   1    1   0    0   0    1

Vergleiche das Ergebnis ruhig mit den Tabellen weiter oben – es passt Zeile für Zeile. 😉

Fazit: Mit NICHT, UND, ODER hast du das komplette Fundament der Digitaltechnik in der Hand. NAND, NOR, XOR sind nur clevere Kombinationen davon, und über DNF/KNF bekommst du aus jeder Wahrheitstabelle systematisch eine Formel – ganz ohne Raten. Wer das sicher beherrscht, hat in der FISI-Prüfung bei Themen wie Schaltnetzen, KV-Diagrammen und Logikplänen einen klaren Vorteil. Im nächsten Schritt lohnt sich der Blick auf das KV-Diagramm zur Minimierung.

Ausbildung FISI // Logische Grundfunktionen & Normalformen