Inhaltsverzeichnis

• Binäre Logik – worum geht es?
• Die drei Grundfunktionen: NICHT, UND, ODER
• Schaltzeichen im Überblick (IEC vs. US-Norm)
• Die zusammengesetzten Gatter: NAND, NOR, XOR, XNOR
• Zeitablaufdiagramm (Impulsdiagramm)
• Wichtige Rechenregeln & die Sätze von De Morgan
• Normalformen: DNF und KNF
• NAND & NOR – die universellen Gatter
• Bonus: Wahrheitstabelle per PowerShell
• Fazit

Binäre Logik – worum geht es?

Digitaltechnik kennt nur zwei Zustände: 0 und 1 (auch LOW/HIGH, falsch/wahr, aus/ein). Eine logische Funktion bildet einen oder mehrere Eingänge auf genau einen Ausgang ab. Beschreiben kannst du sie auf drei gleichwertige Arten:

• Wahrheitstabelle – listet für jede Eingangskombination den Ausgang auf.
• Boolescher Ausdruck – die Funktion als Formel, z. B. Y = A ∧ B.
• Schaltzeichen / Logikplan – die grafische Darstellung als Gatter.

Bei n Eingängen gibt es immer 2ⁿ mögliche Eingangskombinationen – bei 2 Eingängen also 4 Zeilen, bei 3 Eingängen 8 Zeilen. Das ist später für DNF/KNF wichtig.

Notation: Es gibt mehrere übliche Schreibweisen. Ich nutze hier ∧ (UND), ∨ (ODER), ¬ (NICHT) und ⊕ (XOR). Gleichwertig sind: UND = · oder Zusammenschreiben (A·B bzw. AB), ODER = +, NICHT = Überstrich (Ā).

Die drei Grundfunktionen: NICHT, UND, ODER

Aus diesen drei lässt sich jede beliebige logische Funktion zusammensetzen – sie sind das Fundament.

NICHT (NOT / Negation / Inverter)

Dreht den Eingang um. Ein Eingang, ein Ausgang.

Y = ¬A

UND (AND / Konjunktion)

Der Ausgang ist nur dann 1, wenn alle Eingänge 1 sind. Merksatz: „UND ist geizig“.

Y = A ∧ B

ODER (OR / Disjunktion)

Der Ausgang ist 1, sobald mindestens ein Eingang 1 ist. Merksatz: „ODER ist großzügig“.

Y = A ∨ B

Schaltzeichen im Überblick (IEC vs. US-Norm)

In der Praxis triffst du auf zwei Symbol-Welten:

• IEC 60617 / DIN – rechteckige Symbole mit einem Kennzeichen im Block (& für UND, ≥1 für ODER, 1 für NICHT, =1 für XOR). In deutschen Prüfungen und Normplänen üblich.
• ANSI / US-Norm – die „distinktiven“ geschwungenen Formen, die du aus vielen Datenblättern und internationaler Literatur kennst.

Eine Negation wird in beiden Welten durch einen kleinen Kreis (Bubble) am Ausgang dargestellt – so werden aus UND/ODER die Funktionen NAND/NOR.

Die zusammengesetzten Gatter: NAND, NOR, XOR, XNOR

NAND (NOT-AND)

Negiertes UND – Ausgang ist 0 nur dann, wenn alle Eingänge 1 sind.

Y = ¬(A ∧ B)

NOR (NOT-OR)

Negiertes ODER – Ausgang ist 1 nur dann, wenn alle Eingänge 0 sind.

Y = ¬(A ∨ B)

XOR (Exklusiv-ODER / Antivalenz)

Ausgang ist 1, wenn die Eingänge unterschiedlich sind. Bei mehr als zwei Eingängen gilt: 1, wenn die Anzahl der Einsen ungerade ist (Paritätsfunktion).

Y = A ⊕ B

XNOR (Äquivalenz)

Negiertes XOR – Ausgang ist 1, wenn die Eingänge gleich sind. Praktisch als „Vergleicher“.

Y = ¬(A ⊕ B)

Zeitablaufdiagramm (Impulsdiagramm)

Das Zeitablaufdiagramm (auch Impuls- oder Signal-Zeit-Diagramm) zeigt, wie sich die Ausgänge über die Zeit verhalten, während sich die Eingänge ändern. Hier durchlaufen die Eingänge A und B nacheinander alle vier Kombinationen 00 → 01 → 10 → 11. So siehst du auf einen Blick, wie jedes Gatter reagiert (in idealer Betrachtung ohne Gatterlaufzeit/Schaltverzögerung).

Lies es spaltenweise: In jeder Zeitspalte gilt eine feste Kombination von A und B, und du kannst Zeile für Zeile mit den Wahrheitstabellen oben gegenprüfen.

Wichtige Rechenregeln & die Sätze von De Morgan

Für Vereinfachungen brauchst du die Grundgesetze der Booleschen Algebra:

Besonders prüfungsrelevant sind die Sätze von De Morgan – sie verbinden UND/ODER über die Negation und sind die Grundlage dafür, dass NAND und NOR universell sind:

¬(A ∧ B) = ¬A ∨ ¬B
¬(A ∨ B) = ¬A ∧ ¬B

Merksatz: „Negation rein – aus UND wird ODER (und umgekehrt).“

Normalformen: DNF und KNF

Eine Normalform ist eine standardisierte Schreibweise, in der sich jede logische Funktion direkt aus ihrer Wahrheitstabelle ablesen lässt – ohne Raten.

• DNF – Disjunktive Normalform: eine ODER-Verknüpfung von UND-Termen (sog. Mintermen). Du baust sie aus allen Zeilen, in denen der Ausgang 1 ist.
• KNF – Konjunktive Normalform: eine UND-Verknüpfung von ODER-Termen (sog. Maxtermen). Du baust sie aus allen Zeilen, in denen der Ausgang 0 ist.

So liest du die Terme ab

Minterm (für DNF, Zeile mit Ausgang 1): Alle Eingangsvariablen werden mit UND verknüpft. Eine Variable steht negiert, wenn sie in dieser Zeile 0 ist, und nicht negiert, wenn sie 1 ist.

Maxterm (für KNF, Zeile mit Ausgang 0): Alle Eingangsvariablen werden mit ODER verknüpft. Hier ist es genau umgekehrt: Eine Variable steht negiert, wenn sie in dieser Zeile 1 ist, und nicht negiert, wenn sie 0 ist.

Beispiel: Mehrheitsfunktion (2-aus-3)

Nehmen wir eine typische Funktion mit drei Eingängen: Der Ausgang f ist 1, wenn mindestens zwei der drei Eingänge 1 sind (z. B. eine „2-aus-3″-Mehrheitsentscheidung).

DNF – ODER über alle Minterme (die vier 1-Zeilen):

f = (¬A ∧ B ∧ C) ∨ (A ∧ ¬B ∧ C) ∨ (A ∧ B ∧ ¬C) ∨ (A ∧ B ∧ C)

KNF – UND über alle Maxterme (die vier 0-Zeilen):

f = (A ∨ B ∨ C) ∧ (A ∨ B ∨ ¬C) ∧ (A ∨ ¬B ∨ C) ∧ (¬A ∨ B ∨ C)

Beide Formeln beschreiben dieselbe Funktion – einmal über die 1-Stellen, einmal über die 0-Stellen. Welche Form kürzer ist, hängt davon ab, ob die Funktion mehr Einsen oder mehr Nullen hat: Hat die Funktion wenige Einsen, ist die DNF kürzer; hat sie wenige Nullen, ist die KNF kürzer.

Wichtig: Normalform ≠ minimale Form

DNF und KNF sind vollständig, aber meist nicht minimal. Die Mehrheitsfunktion lässt sich z. B. zu

f = (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) ∨ (B ∧ C)

vereinfachen. Solche Minimierungen macht man per Boolescher Algebra (De Morgan, Distributivgesetz) oder grafisch mit dem KV-Diagramm (Karnaugh-Veitch) – das ist aber ein eigenes Thema.

NAND & NOR – die universellen Gatter

Eine Eigenschaft, die in Prüfungen gern abgefragt wird: NAND und NOR sind jeweils funktional vollständig. Das heißt, du kannst mit ausschließlich NAND-Gattern (oder ausschließlich NOR-Gattern) jede beliebige Logik nachbauen. Beispiele mit NAND:

Das ist auch ökonomisch relevant: In der Fertigung ist es günstiger, einen Chip mit nur einem Gattertyp zu bestücken, als mehrere Typen zu mischen.

Bonus: Wahrheitstabelle per PowerShell

Da du vermutlich eh schon eine PowerShell offen hast – damit kannst du dir die Wahrheitstabelle der Grundfunktionen schnell selbst ausgeben lassen. Praktisch zum Gegenprüfen:

<#
.SYNOPSIS
    Gibt die Wahrheitstabelle der logischen Grundfunktionen fuer zwei Eingaenge aus.
.DESCRIPTION
    Durchlaeuft alle vier Kombinationen von A und B und berechnet
    UND, ODER, XOR, NAND, NOR und XNOR ueber die bitweisen Operatoren.
.NOTES
    Name: PS_Wahrheitstabelle_Grundfunktionen
    Author: Andreas Bowitz
    Version: 0.1
    LastUpdated: 2026-Jun-03
#>

$ergebnis = foreach ($A in 0..1) {
    foreach ($B in 0..1) {
        [PSCustomObject]@{
            A    = $A
            B    = $B
            UND  = $A -band $B            # AND
            ODER = $A -bor  $B            # OR
            XOR  = $A -bxor $B            # XOR
            NAND = [int](-not ($A -band $B))
            NOR  = [int](-not ($A -bor  $B))
            XNOR = [int](-not ($A -bxor $B))
        }
    }
}

$ergebnis | Format-Table -AutoSize

Ausgabe:

A B UND ODER XOR NAND NOR XNOR
- - --- ---- --- ---- --- ----
0 0   0    0   0    1   1    1
0 1   0    1   1    1   0    0
1 0   0    1   1    1   0    0
1 1   1    1   0    0   0    1

Vergleiche das Ergebnis ruhig mit den Tabellen weiter oben – es passt Zeile für Zeile.

Fazit: Mit NICHT, UND, ODER hast du das komplette Fundament der Digitaltechnik in der Hand. NAND, NOR, XOR sind nur clevere Kombinationen davon, und über DNF/KNF bekommst du aus jeder Wahrheitstabelle systematisch eine Formel – ganz ohne Raten. Wer das sicher beherrscht, hat in der FISI-Prüfung bei Themen wie Schaltnetzen, KV-Diagrammen und Logikplänen einen klaren Vorteil. Im nächsten Schritt lohnt sich der Blick auf das KV-Diagramm zur Minimierung.